Variationsrechnung

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Die Variationsrechnung ist eine Sparte der Mathematik, die um 1800 von Lagrange entwickelt wurde. Sie beschäftigt sich mit Funktionen von Funktionen, die auch Funktionale genannt werden. Solche Funktionale können z.B. Integrale über eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen sein. Dabei interessiert man sich für stationäre Funktionen, also solche, für die das Funktional ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt annimmt. Einige klassische Probleme wurden mit Hilfe von Funktionalen formuliert.

Ein Beispiel ist das Brachystochronenproblem : Auf welcher Kurve in einem Schwerefeld von einem Punkt A zu einem Punkt B, der unterhalb, aber nicht direkt unter A liegt, benötigt ein Objekt die kleinste Zeit zu dem Durchlaufen der Kurve? Von allen Kurven zwischen A und B minimiert eine den Ausdruck, der die Zeit des Durchlaufens der Kurve beschreibt. Dieser Ausdruck ist ein Integral, das die unbekannte, gesuchte Funktion, die die Kurve von A nach B beschreibt, und deren Ableitungen enthält.

Das Schlüsseltheorem der Variationsrechnung ist die Euler-Lagrange-Gleichung. Sie beschreibt die Stationaritätsbedingung eines Funktionals. Wie bei der Aufgabe, die Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, wird sie aus der Analyse kleiner Änderungen um die angenommene Lösung hergeleitet.

Die Variationsrechnung ist besonders in der theoretischen Physik wichtig, so z.B. in dem Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik bzw. der Bahnbestimmung, und in der Quantenmechanik in Anwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung. In der Mathematik wurde die Variationsrechnung z.B. bei Bernhard Riemanns Behandlung des Dirichlet-Prinzips für harmonische Funktionen benutzt.

In der modernen Mathematik wird die Variationsrechnung nicht mehr in großem Umfang angewendet. Ihre Methoden tauchen bei den Hilbertraum-Techniken, der Morse-Theorie und bei der symplektischen Geometrie wieder auf. Der Begriff Variation wird für alle Extremal-Probleme von Funktionen benutzt. Geodäsie und Differentialgeometrie sind Bereiche der Mathematik, in denen Variationen eine Rolle spielen. Besonders am Problem der minimalen Oberflächen, die z.B. bei Seifenblasen auftreten, wurde viel gearbeitet.